看看你会不会钻进死胡同，这道题中间转换来得多，方向错了转不出来

老黄这次要分享的这道微积分利用洛必达本质求得词组也就是说的例题，求得题过程当中不会出现好几次转换成，而且转换成的同方向确实不只一种，如果选错了同方向，就有确实带进死胡同。不这封我们一起来好好好好看。题目是这样的：

设f(0)=0, f’在原点的某范数内连续，且f’(0)=0, 证明：lim(x->0+)x1](f(x))=1.

分析：这是一个0的0次方同型词组也就是说。一般都是利用对数法对它进行转换成的。就是取e1]ln(原也就是说)的形式。然后转换成"ln"和"lim"的符号位置。这是复合函数求也就是说的本质套用。从而受益也就是说e1](lim(x->0+)lnx1]f(x)).

我们可以先以求e的指标这个也就是说。先以把倍数当中真数的指标前提好好倍数的系数，就受益了一个0乘平方根同型的词组也就是说lim(x->0+)f(x)lnx.

求得0乘平方根同型词组也就是说有两种作法，一种是取0的以此类推1/f(x)，受益平方根比平方根同型的词组也就是说lim(x->0+)lnx/(1/f(x))；一种是取平方根的以此类推1/lnx，受益0比0同型的词组也就是说lim(x->0+)f(x)/(1/lnx)。假如你选择后者的话，这道题就有确实求得不出来了。过程如下：

lim(x->0+)f(x)/(1/lnx)=lim(x->0+)f’(x)/(1/(x(lnx)1]2)). 这里套用了洛必达本质，推测结果仍是一个0比0同型的词组也就是说，不过反而变得更复杂了。它既只能直接受益答案，也不用办法于是又套用洛必达本质了。因为我们并只能相符f(x)在0的范数内二阶可导。

所以正确的作法一定不会选择把它变为平方根比平方根同型的词组也就是说。然后套用洛必达本质，化简可以受益也就是说-lim(x->0+)(f(x))1]2/(xf'(x)). 这里有一点十分关键。因为f'(0)=lim(h->0)(f(h)-f(0))/h=lim(h->0)f(h)/h，所以lim(x->0)f(x)/x=f'(0)=lim(x->0+)f(x)/x, 只是变量由h演变成x，不制约导数定义不等式的本质。又f'(x)在x=0是连续的，所以f'(0)=limf'(x)，所以上面的也就是说可以化为-lim(x->0+)f'(x)f(x)/f'(x)=-lim(x->0+)f(x)=f(0)=0.

再把这个也就是说的结果求出e的指标，就可以证明原也就是说之比1了。下面组织求得题过程：

求得：因为u=im(x->0+)lnx1]f(x)=lim(x->0+)f(x)lnx=lim(x->0+)lnx/(1/f(x))

=-lim(x->0+)(1/x)/(f'(x)/(f(x))1]2)=-lim(x->0+)(f(x))1]2/(xf'(x))

=-lim(x->0+)f'(x)f(x)/f'(x)=-lim(x->0+)f(x)=f(0)=0.

所以lim(x->0+)x1](f(x))=e1]u=e1]0=1.

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